素数不是等距分布的。它们在数轴上时疏时密，而这疏密之间的“间隙”，成了现代数论中最坚固也最顽固的堡垒之一。

素数间隙有两个方向：一是间隙最小能有多小？二是间隙最大能有多大？

第一个问题，是著名的“孪生素数猜想”。自19世纪德波利尼亚克提出以来，它的核心问题始终没有解决：是否存在无限多对素数，它们的差恰好是2？也就是说，是否有无限多个形如（p, p+2）的素数对。

这个问题太硬，百年来毫无进展，直到2013年5月14日，张益唐公布了一个革命性的结果：存在无穷多对相邻素数，它们的差值不超过7000万。

他的证明依赖极深的分析工具，包括德利涅关于有限域上黎曼猜想的结果、经典筛法极限强化，以及高维傅里叶分析。

这个突破立刻引发一场集体攻坚。由陶哲轩等人组织的“多数学家项目”（Polymath Project）迅速上线，全球数学家改进张益唐的推理，利用精密筛法、计算机优化和线性代数工具，仅用数月，将7000万压缩到246。

技术核心是：构造一组加权筛函数，设法使多个数（如n, n+2, n+6等）在概率意义上都尽可能接近素数。这背后的数学工具，是塞尔贝格筛的多维扩展形式。

关键在于构造一组权重函数，使得从数轴上随机抽取一个数n后，n加上一组特定偏移（如2，4，6……）能命中多个素数的“概率”之和大于1。一旦大于1，根据概率原理，说明存在某些n，使得多个偏移结果全为素数。这样就找到了短区间内的多素数组合，从而间接逼近最小间隙。

在此基础上，James Maynard提出了更为灵活的多变量筛法，不再依赖德利涅结果，仅凭已知的素数在算术级数中的分布定理，就能直接压缩间隙。他首次将上界压缩至600内，并提出了一整套可用于寻找多素数组合的新方法。

最终，经Polymath项目的优化，这一数字被定格在246。

但无论如何，筛法的上限已被逼至极限。要想进一步逼近孪生素数猜想的“2”，必须另辟蹊径——引入非筛法的结构性突破，目前尚未找到。

再看大间隙问题。

一个早已被高中教材提到的构造法，就是阶乘法。设定一个正整数n，考虑n!+2，n!+3，……，n!+n，则这n个连续整数都是合数。因为每个n!+k都能被k整除。这意味着：素数之间的间隙可以任意大（详细证明过程从省）。

但这仍然只是存在性证明，离“真实的最大间隙增长速度”还有很远。

关键工具是“素数定理”，当x趋近于无穷大时，小于等于x的素数个数π(x)满足近似关系：

这意味着在x附近，平均相邻素数间隙约为logx。

但是否存在间隙远远大于这个平均值的特殊区域？这是大间隙问题的核心。

20世纪初，Cramér引入了一个革命性的模型：将素数看作伪随机分布，假设素数在分布行为上和一个独立等概率模型近似。根据这个模型，他推测素数间最大的间隙应该是对数平方级别，即

这就是著名的Cramér猜想，至今未被证明。

几十年来，研究者只能在这个猜想的边缘地带挣扎。最初的改进来自1930年代波兰数学家维谢尔斯基，他稍微突破了平均间隙边界，用的是

这听起来像笑话——但几十年里，数学家确实就在这个表达式的“分子再加一个对数”层面上艰难推进。埃尔德什甚至开出五千美元奖金，奖励任何人能进一步抬高这个“常数”C。

直到2014年，新的突破出现了。Ford、Green、Konyagin 和陶哲轩发布结果：可以将这个“常数”C提升到任意大。换言之，素数之间的间隙确实可以超过任意多倍的平均间隙。

这就是当前素数间隙研究的真实图景：突破不断，但壁垒依旧。

不过值得记住的是：真正的突破，常常不是线性的推进，而是结构的转变。