最近,华人女数学家王虹与她的合作者Joshua Zahi共同证明了三维“挂谷猜想”(Kakeya set conjecture)。这个突破性的成果迅速引发了公众和学术界的关注。
这个消息令很多人激动,不管是业内的还是业外的,懂的还是不懂的,都有值得兴奋的理由。
证明这件事非常重要,甚至对于数学而言,没有证明,我们就无法谈论真正的数学。
证明,其实不一定很枯燥,也可以很有趣,只不过基础不同,感受会不一样。 这个道理在其他领域里也适用,艺术、游戏、工程等等,认知不同,体验也大不相同。
最近在读《证明的故事》一书(见文末链接),很有意思,也很权威。感受了证明的力量。
本文来回顾几个很有意思的数学证明,不涉及太复杂和深奥的数学定理,但力求从中获得一些启发。
1. 欧几里得的素数无穷定理“素数无穷定理”是欧几里得在公元前300年左右证明的,这一结果至今仍然为人称道。它的结论是:素数是无穷多的,也就是说没有最大素数。这个证明既简单又深刻,让我们一窥数学证明的优雅。
欧几里得的证明方法非常巧妙,他使用了反证法。假设素数是有限的,并且列出所有素数:。然后构造一个新数:
显然,不能被任何一个整除。因为对每个,除以都会剩余1。这意味着不是任何已知素数的倍数,或者是一个新的素数,或者它有一个新的质因数,这个因数不在原来的素数列表中。这个结果与最初的假设相矛盾,证明了素数是无穷多的。
这个证明虽然简短,但它展示了数学思维中的一种深刻的优雅和逻辑严谨性。通过反证法的思路,欧几里得展示了一个在直觉上难以察觉的数学真理,这正是数学证明独特魅力的一部分。
2. 高斯的等差数列求和公式卡尔·弗里德里希·高斯是数学史上最伟大的天才之一。他从小便展现出了过人的数学才华。一个著名的故事是,在高斯的童年时期,他的老师曾让学生们求出1到100的和。大多数学生可能会像我们一样,逐一相加。但高斯却立刻发现了一个巧妙的方法,通过将这些数字配对求和,迅速得出了结果。
将数字1到100的序列从两端开始配对,可以得到50对,每一对的和都是101:
因此,求和的结果就是:
这个巧妙的想法不仅节省了时间,还展示了如何在看似简单的问题中发现内在的规律和结构。其实类似的证明在数学中有很多,关于勾股定理证明的诸多方法就是很典型的例子。
3. 阿基米德的圆的面积公式阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一,他在几何学方面的贡献至今仍被视为经典。阿基米德不仅创造了许多基础的几何定理,他还通过独特的逼近方法,计算出了圆的面积。
阿基米德的思路非常独特,他没有直接计算圆的面积,而是通过将圆分解为若干个正多边形,逐渐增加多边形的边数来逼近圆的面积。随着多边形边数的增加,它们的面积逐渐接近圆的面积。通过这一逼近法,阿基米德得出了圆的面积公式:
这种方法展示了数学中的极限思想。即使在没有现代微积分的情况下,阿基米德依然通过几何的方法逼近圆的面积,展现了他卓越的数学直觉。
4. 费马大定理在数学史上,费马大定理是一个著名的千年难题,它曾困扰了数学家们整整358年。费马大定理的内容是:没有三个正整数,使得对于成立。费马在他的笔记中写道:“我发现了一个非常巧妙的证明,但是这边的空白太小,写不下。”
费马大定理的证明经历了无数数学家的尝试和失败,直到1994年,英国数学家安德鲁·怀尔斯终于成功地证明了这个定理。怀尔斯的证明依赖于当时最先进的数论工具——椭圆曲线和模形式。这个证明不仅解决了一个长期困扰数学界的问题,而且还推动了数论和代数几何的发展。
费马大定理的证明过程不仅展现了数学的深邃和复杂性,也反映了数学在解决问题时的渐进式推进。这个证明告诉我们:数学证明并非一蹴而就,它是一个不断积累、不断发展的过程。
5. 四色定理四色定理是另一个著名的数学问题。它的内容是:任何地图都可以用至多四种颜色着色,使得相邻的区域不会使用相同的颜色。这个问题自1852年提出以来,数学家们一直未能证明,直到1976年,肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯利用计算机的帮助,最终证明了四色定理。
四色定理的证明在当时引起了巨大轰动,因为这是第一个使用计算机辅助的数学证明。阿佩尔和哈肯通过计算机验证了数以万计的情况,从而最终确认了四色定理的正确性。这种“计算机辅助证明”的方法,引发了数学界对于证明形式的深刻讨论。
四色定理的证明过程展示了数学中的一种新兴思维方式:借助计算机等现代技术工具,数学家可以处理庞大的数据集,从而解决传统手工推理无法完成的任务。这个证明不仅是数学证明形式的一次创新,也让我们看到了数学研究与技术进步的结合。
其实最近AI的突破性进展也在数学界产生了很大的影响,数学家与AI合作进行证明也会成为一种重要的研究范式。
通过回顾这些数学证明,我们不难发现,数学不仅仅是一门抽象的学科,更是一种富有创造力和艺术性的思维方式。
证明不仅是数学的核心,它也是数学之美的体现。每一个证明,都是对未知世界的探索,它让我们更接近真理,带给我们深刻的哲理和无限的智慧。
而对于普通人来说,虽然数学的证明过程可能充满了挑战,但其中的优雅与深邃,依然能让人感受到数学作为一门学科所独有的魅力。
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