以下是对该定义含义的解释：

1. 涉及概念说明

2. 下（上）半弱连续含义

3. 弱连续含义

在连续的基础上定义弱连续概念，主要有以下几方面意义：

1. 深化对空间和映射性质的理解刻画更精细的收敛性质：在泛函分析等领域，除了通常的依范数收敛（强收敛）所对应的连续概念外 ，弱收敛是一种更 “弱” 的收敛方式。弱连续基于弱收敛来定义，能描述在弱收敛意义下泛函的变化规律。比如在无穷维空间中，序列可能不依范数收敛（强收敛），但存在弱收敛情况。弱连续概念可用于研究这类空间中泛函在弱收敛序列下的行为，为理解空间结构和泛函性质提供更细致的工具。揭示空间拓扑结构：弱连续与空间的拓扑结构紧密相关。它反映了空间中一种基于弱拓扑的连续性。不同的拓扑结构会产生不同的连续概念，弱连续所对应的弱拓扑能展现出空间不同于强拓扑（由范数诱导的拓扑）的特性。通过研究弱连续，可以深入了解空间在弱拓扑下的开集、闭集等拓扑性质，丰富对空间整体结构的认知。2. 解决实际数学问题的需要处理不适定问题：在一些数学物理问题中，直接研究强连续的泛函可能无法得到满意结果，而弱连续泛函能提供新途径。例如在求解某些偏微分方程时，若解序列不具有强收敛性（强连续意义下），但在弱收敛意义下可能存在良好性质。利用弱连续概念，可在弱解框架下研究方程解的存在性、唯一性等问题，为解决这类不适定问题提供理论支持。