以下是实情形下 Hahn - Banach 分离定理的证明。

证明步骤：

其中

是在定义 Minkowski 泛函（闵可夫斯基泛函 ）：

综上，实情形下的 Hahn - Banach 分离定理得证。

Hahn - Banach 分离定理在泛函分析及相关领域意义重大，主要体现在以下方面：

理论价值构建空间结构认知：它是理解赋范线性空间等抽象空间结构的重要工具。通过超平面分离不相交凸集，直观展示空间内集合间的位置关系，帮助学者深入把握空间拓扑和几何特性 。比如在有限维欧氏空间，可类比用直线（平面）分离不相交凸图形来理解；在无限维空间，它拓展了对集合分离与空间层次的认知。奠定对偶理论基础：对偶理论研究空间与其对偶空间（连续线性泛函构成的空间 ）关系。该定理确保对偶空间有 “足够多” 连续线性泛函，使对偶空间研究更具意义。如通过分离定理可证明一些空间性质及对偶空间存在性相关结论，是对偶理论发展的基石。实际应用优化理论：在凸优化中，可用于推导对偶问题及证明对偶定理。通过分离定理，建立原问题与对偶问题联系，利用对偶性求解优化问题，提升计算效率和准确性。如在资源分配、最优控制等实际优化场景中发挥关键作用。数值分析：用于分析数值算法稳定性和收敛性。例如判断迭代算法生成序列是否收敛，以及在误差估计方面提供理论依据，保障数值计算结果可靠性。偏微分方程：在研究偏微分方程解的存在性、唯一性及稳定性时，借助 Hahn - Banach 分离定理，通过将方程相关问题转化为凸集分离问题，为方程求解和性质研究开辟途径。