●单项选择题:若复数z=(35+20i)/(6+ai)为纯虚数,则实数a的值为:( )。
A. 6 B. 21/2 C. -6 D.-21/2
解题过程:本题主要考察纯虚数概念,纯虚数是实部为0,虚部不为0的复数。对于本题,对复数z进行分母有理化有:
z=(35+20i)/(6+ai)
= (35+20i) (6-ai)/[(6+ai) (6-ai)]
=(35+20i) (6-ai)/(6²+a²)
=[(210-20a)+(120-35a)i]/(6²+a²),
则210-20a=0,即a=21/2,故选择答案B.
●单项选择题:若复数z满足50-5z=5z·i,则|z|=( )。
A.5 B.10√2 C. 50 D. 5√2
解题过程:对已知条件进行变形化简有:z=50/[5(1+i)],然后进行分母有理化z=50(1-i)/[5(1+i)(1-i)]=50(1-i)/ (5*2)=5(1-i)=5√2,则选择答案D.
●单项选择题:若复数z=53+i2479,则其共轭复数在复平面上对应点所在的象限为:( ),
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解题过程:复数所在复平面上所对应点的象限分析,取决于该复数实部与虚部的符号。本题z=53+i2479=53-i,则对应的共轭复数为:53+i,可知实部=53>0,虚部=1>0,所以该共轭复数对应的点在第第一象限象限,即选择答案A.
●单项选择题:若i为虚数单位,则复数(4+7i)/(1+i)的实部和虚部之积为( ).
A.-33/4 B. 33/4 C. 33i/4 D.-33i/4.
解题过程:首先对复数表达式进行分母有理化,得到复数的一般表达式,进一步解析出复数的实部和虚部,最后相乘即可得到题目所求值对应的选项。
(4+7i)/(1+i)
= (4+7i) (1-i)/2
=[(4+7)+(7-4)i]/2,所以虚数的实部与虚部的乘积=(4+7)/2*(7-4)/2=(7²-4²)/4=33/4,故选择B.
●单项选择题:复平面内,复数z对应的点的坐标是(-13,43),则z的共轭复数为:( )。
A. 13+43i B.13-43i C.-13+43i D.-13-43i.
解题过程:本题主要考察的是共轭复数的概念,z与其共轭复数的实部相等,虚部互为相反数。根据本题题意,可知z=-13+43i,所以共轭复数为:-13-43i,即选择D.
●多项选择题:已知复数z满足z(√3+i)=-2i,z*表示z的共轭虚数,则下列正确的选项是:( )。
A.|z|=1, B.z的虚部为√3/2
C.z²+1=0 D.z²=z*
解题思路:根据题意z=-2i/(√3+i)=-2i(√3-i)/4=-i(√3-i)/2=(-1-√3i)/2,则|z|=(1/2)²+(√3/2)²=1,故答案A正确。
对于答案B,因为z的虚部=-√3/2,所以B错误。
根据题意有:z²=[(-1-√3i)/2]²=(-2+2√3i)/4=(-1+√3i)/2,则z²+1=(-1+√3i)/2+1=(1+√3i)/2≠0,所以答案C错误。对于答案D,有z的共轭复数z*=(-1+√3i)/2,刚好与z²相等,故正确,综上本题选择答案A和D.
●填空题:设z=(7+13i)/( 6+8i),则z的共轭复数为: 。
解题过程:本题主要知识点是共轭复数的计算,若z=a+bi,则Z=a-bi互为共轭复数。对于本题,复数是分数形式,所以变共轭复数不是将分子分母虚部的符号变成相反,而首先需对z进行有理化变成复数的一般表达式,再变虚部的符号得到共轭复数。
Z=(7+13i)/(6+8i)
=(7+13i)(6-8i)/[(6+8i)(6-8i)]
=(7+13i) (6-8i)/(6²+8²)
=(146+22i) /(6²+8²)=(73+11i)/ 50.
所以其共轭复数为:(73-11i)/ 50.
●计算题:设a,b为共轭复数,且(a+b)²-4abi=9-58i,求复数a,b。
解:根据题意,设a=x+yi,b=x-yi,则:
a+b=x+yi+x-yi=2x,
ab=(x+yi)(x-yi)=x²+y²;
代入已知式有:
(2x)²-4*(x²+y²)i=9-58i,则:
9=4x²,且4(x²+y²)=58,
可求出x=±3/2.
进一步由题目条件有:4*(9/4+ y²)=58,
y²=58/4-9/4=49/4,
可求出y=±7/2,
所以:a=3/2+7i/2,b=3/2-7i/2;
或者:a=-3/2+7i/2,b=-3/2-7i/2;
或者:a=3/2-7i/2,b=3/2+7i/2;
或者:a=-3/2-7i/2,b=-3/2+7i/2。