凸集是数学中一个重要概念，在多个领域有广泛应用。

在优化理论中，凸集具有关键作用。若优化问题的目标函数是凸函数，约束条件定义的区域是凸集，那么这个问题是凸优化问题 。凸优化问题具有良好性质，比如局部最优解就是全局最优解 ，可通过一些成熟算法（如梯度下降法、牛顿法等）求解 。像支持向量机（SVM）中，目标函数是凸函数，约束集合是凸集，可转化为凸规划问题求解，从而具备较高计算效率和准确性 。

紧集、紧凸集和闭凸集在不同的数学问题中有着广泛的应用，例如在优化理论、泛函分析、凸几何等领域中，它们的性质常常被用来证明各种存在性定理和极值问题的解的存在性等。